题目内容

设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，过原点O斜率为1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，椭圆右焦点F到直线l的距离为
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆上异于M，N外的一点，当直线PM，PN的斜率存在且不为零时，记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，试探究k1•k2是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
分析：（I）设椭圆的焦距为2c（c＞0），F（c，0），直线l：x-y=0，F到l的距离为
|c|
2
=
2
，解得c，进一步求得a，b的值，从而写出椭圆C的方程；
（Ⅱ）由
x2
8
+
y2
4
=1
y=x
解得x=y=
2
6
3
，或x=y=-
2
6
3
，表示出直线PM和PN的斜率，求的两直线斜率乘积的表达式，把y和x的表达式代入发现结果与p无关．
解答：解：（I）设椭圆的焦距为2c（c＞0），F（c，0），直线l：x-y=0，F到l的距离为
|c|
2
=
2
，解得c=2．又∵e=
c
a
=
2
2
，∴a=2
2
，∴b=2．
∴椭圆C的方程为
x2
8
+
y2
4
=1．（6分）
（Ⅱ）由
x2
8
+
y2
4
=1
y=x
解得x=y=
2
6
3
，或x=y=-
2
6
3
，
不妨设M(
2
6
3
，
2
6
3
)， N(-
2
6
3
，-
2
6
3
)，P（x，y），
∴kPM•kPN=
y-
2
6
3
x-
2
6
3
•
y+
2
6
3
x+
2
6
3
=
y2-
8
3
x2-
8
3
，
由
x2
8
+
y2
4
=1，即x2=8-2y2，代入化简得k1•k2=kPM•kPN=-
1
2
为定值．（12分）
点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞1）右焦点为F，它与直线l：y=k（x+1）相交于P、Q两点，l与x轴的交点M到椭圆左准线的距离为d，若椭圆的焦距是b与d+|MF|的等差中项．
（1）求椭圆离心率e；
（2）设N与M关于原点O对称，若以N为圆心，b为半径的圆与l相切，且
OP
•
OQ
=-
5
3
求椭圆C的方程．
精英家教网设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左．右焦点分别为F1F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2
F1F2
+
F2Q
=
0
．
（1）若过A．Q．F2三点的圆恰好与直线l：x-
3
y-3=0相切，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M．N两点．试证明：
1
|F2M|
+
1
|F2N|
为定值；②在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．
（2012•盐城一模）设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)恒过定点A（1，2），则椭圆的中心到准线的距离的最小值
5
+2
5
+2
．
设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若P 是椭圆上的一点，|
PF1
|+|
PF2
|=4，离心率e=
3
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，
PF1
•
PF2
=-
5
4
，求点P的坐标；
（3）设过定点P（0，2）的直线与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为e=
2
2
，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与直线x-
3
y-3=0相切．
（I）求椭圆C的方程；
（II）直线y=x交椭圆C于A、B两点，D为椭圆上异于A、B的点，求△ABD面积的最大值．

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