题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
平面
,△
为等边三角形,
,
,
,
分别为棱
,
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)求平面与平面
所成锐二面角的余弦值;
(3)在棱上是否存在点
,使得
平面
?若存在,求
的值,若不存在,说明理由.
【答案】(1)见解析;(2);(3)存在,
【解析】
(1)证明和
即可证明
(2)取的中点
,连结
,得
,以
为原点,以
所在直线分别为
轴如图建系,求得两平面的法向量,利用二面角向量公式求解
(3)假设棱上存在点
,使得
平面
,且设
,求得平面
的法向量,利用
得
(1)因为平面
,
平面
,
平面
,所以
,
.
又因为△为等边三角形,
为
的中点,所以
.
,
所以平面
.
(2)取的中点
,连结
,则易知
,
,
.因为△
为等边三角形,所以
.
以为原点,以
所在直线分别为
轴如图建系,
,,
,
设平面的法向量
,则:
,即
,
令,得平面
的一个法向量
,易知平面
的一个法向量为
所以平面与平面
所成锐二面角的余弦值为
.
(3)假设棱上存在点
,使得
平面
,且设
,则
,
,则
,
,要使得
平面
,则
,得
,
所以线段上存在点
,使得
平面
,
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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