Question

如图，在斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠A₁AB＝∠A₁AC，AB＝AC，侧面B₁BCC₁与底面ABC所成的二面角为120°，E、F分别是棱CB₁、AA₁的中点．

(1)AA₁求与底面ABC所成的角；

(2)证明EA₁∥平面B₁FC；

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：过A1作平面A1H⊥平面ABC，垂足为H．连接AH，并延长BC交于G，连接EG，于是∠A1AH为A1A与底面ABC所成的角． 　　因为∠A1AB＝∠A1AC，所以AG为的∠BAC平分线 　　又因为AB＝AC，所以AG⊥BC，且G为BC的中点 　　因此，由三垂线定理A1A⊥BC 　　因为A1A∥B1B，且EG∥B1B，所以EG⊥BC，于是为∠AGE二面角A－BC－E的平面角，即∠AGE＝120°，由于四边形A1AGE为平行四边形，得∠A1AG＝60° 　　所以，A1A与底面ABC所成的角度为60° 　　(II)证明：设EG与B1C的交点为P，则点P为EG的中点，连结PF． 　　在平行四边形AGEA1中，因为F是A1A的中点，∴A1F∥EP且A1F＝EP∴A1FPE为平行四边形∴A1E∥FP，而FP平面B1FC，平面B1FC，所以A1E∥平面B1FC