Question

14．已知命题p：对?x∈R，y=lg（mx²-4mx+m+3）有意义．
（1）若命题p为真，求实数m的取值范围；
（2）写出命题￢p，若￢p为真，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数的定义域求解即可．
（2）写出命题否定形式，通过真命题，讨论m的范围，推出结果即可．

解答 解：（1）函数y=lg（mx²-4mx+m+3）的定义域为R，
说明对任意实数x，mx²-4mx+m+3＞0恒成立，
当m=0时，mx²-4mx+m+3＞0化为3＞0恒成立，
当m≠0时，要使对任意实数x，mx²-4mx+m+3＞0恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}m＞0…①\\ 16{m}^{2}-4m（m+3）＜0…②\end{array}\right.$，
解②得：0＜m＜1，即m∈（0，1）．
综上，函数y=lg（mx²-4mx+m+3）的定义域为R的实数m的取值范围是[0，1）．
（2）命题￢p，?x∈R，y=lg（mx²-4mx+m+3）无意义．若￢p为真，则，
①当m＞0时，16m²-4m（m+3）≥0，解得m≥1．
②当m=0时，￢p为假．
③当m＜0时，￢p为真．
综上实数m的范围为：（-∞，0）∪[1，+∞）

点评 本题考查命题的真假的判断与应用，命题的否定，考查计算能力．