题目内容
【题目】△ABC中,角A,B,C所对边分别是a、b、c,且cosA= .
(1)求sin2 +cos2A的值;
(2)若a= ,求△ABC面积的最大值.
【答案】
(1)解:sin2 +cos2A=sin2
+2cos2A﹣1
=cos2 +2cos2A﹣1=
+2cos2A﹣1
= +2×
﹣1=﹣
;
(2)解:cosA= ,可得sinA=
=
,
由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣ bc
≥2bc﹣﹣ bc=
bc,
即有bc≤ a2=
,当且仅当b=c=
,取得等号.
则△ABC面积为 bcsinA≤
×
×
=
.
即有b=c= 时,△ABC的面积取得最大值
.
【解析】(1)利用诱导公式及二倍角的余弦公式对式子化简,代入即可得到所求值;(2)运用余弦定理和面积公式,结合基本不等式,即可得到最大值.
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