Question

【题目】设f（x）＝xex﹣ax2﹣2ax．

（Ⅰ）若y＝f（x）的图象在x＝﹣1处的切线经过坐标原点，求a的值；

（Ⅱ）若f（x）存在极大值，且极大值小于0，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）a；（Ⅱ）（0，）∪（，）．

【解析】

（Ⅰ）求f'（x）得到切线斜率，结合直线过原点，即得解;

（Ⅱ）分a≤0，a＞0两种情况分析导数极值，得到f（ln2a）是极大值，由极大值小于0，求a的取值范围.

（Ⅰ）f'（x）＝ex+xex﹣2ax﹣2a＝（x+1）（ex﹣2a），f'（﹣1）＝0，f（﹣1）a，

所以由题意得：0，∴a；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当2a≤0时，即a≤0时，ex﹣2a≥0，

∴x＜﹣1，f'（x）＜0，f（x）单调递减，

x＞﹣1，f'（x）＞0，f（x）单调递增，

所以f（x）有极小值，无极大值；

当a＞0，f'（x）＝0，x＝﹣1或x＝ln2a，

当ln2a＞﹣1时，即a，

∴x∈（﹣∞，﹣1）和 （ln2a，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增，

当﹣1＜x＜ln2a时，

f'（x）＜0，f（x）单调递减，

所以f（﹣1）为极大值，且f（﹣1）a，由题意得：f（﹣1）＜0，∴；

当ln2a＜﹣1时，即0＜a，

∴x∈（﹣∞，ln2a）和 （﹣1，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增，

x∈（ln2a，﹣1），f'（x）＜0，f（x）单调递减，

所以f（ln2a）是极大值，且f（ln2a）＝2aln2a﹣aln22a﹣2aln2a＝﹣aln22a＜0恒成立；

当ln2a＝﹣1时，即a，f'（x）＝（x+1）2≥0恒成立，f（x）单调递增，无极值，舍去；

综上所述：符合条件的a的取值范围：（0，）∪（，）．