题目内容
已知椭圆C：
+
=1(a＞b＞0)的左焦点与短轴的两个端点构成边长为2的等边三角形，设M（x1，y1），N（x2，y2），（x1≠x2）是椭圆上不同的两点，且x1x2+4y1y2=0．
（1）求椭圆C的方程．
（2）求证：x12+x22=4．
（3）在x轴上是否存在一点P（t，0），使|
|=|
|？若存在，求出t的取值范围，若不存在，说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）求椭圆C的方程．
（2）求证：x12+x22=4．
（3）在x轴上是否存在一点P（t，0），使|
| PM |
| PN |
分析：（1）根据题意，结合等边三角形的性质，可得a=2，b=1，代入椭圆方程，可得答案；
（Ⅱ）由x1x2+4y1y2=0，左右同时平方可得x12x22=16y12y22，结合椭圆的方程，可得x12x22=16y12y22=16-4（x12+x22）+x12x22，计算可得答案；
（Ⅲ）首先假设存在点P（t，0），根据题意，转化可得（x1-x2）（x1+x2-2t）=y22-y12，结合椭圆的方程与根与系数的关系，化简可得z2-
•z+
=0，令其△＞0，可得t的取值范围，即可得答案．
（Ⅱ）由x1x2+4y1y2=0，左右同时平方可得x12x22=16y12y22，结合椭圆的方程，可得x12x22=16y12y22=16-4（x12+x22）+x12x22，计算可得答案；
（Ⅲ）首先假设存在点P（t，0），根据题意，转化可得（x1-x2）（x1+x2-2t）=y22-y12，结合椭圆的方程与根与系数的关系，化简可得z2-
| 8 |
| 3 |
| 32t2-18 |
| 9 |
解答：解：（Ⅰ）由题设左焦点与短轴的两个端点构成边长为2的等边三角形，
可得a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为
+y2=1
（Ⅱ）由x1x2+4y1y2=0，得x12x22=16y12y22
∵x12+4y12=4，x22+4y22=4
∴x12x22=16y12y22=16-4（x12+x22）+x12x22
故x12+x22=4
（Ⅲ）假设存在点P（t，0），使得|
|=|
|，
则（x1-t）2+y12=（x2-t）2+y22
∴（x1-x2）（x1+x2-2t）=y22-y12
故(x1-x2)(x1+x2-2t)=
x1≠x2，∴x1+x2=
t
又x1x2=
=
，
∴x1，x2是方程z2-
•z+
=0的两个根
由△=
t2-
＞0，得-
＜t＜
，
故存在点P（t，0），使得|
|=|
|，且t的取值范围为(-
，
)
可得a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为
| x2 |
| 4 |
（Ⅱ）由x1x2+4y1y2=0，得x12x22=16y12y22
∵x12+4y12=4，x22+4y22=4
∴x12x22=16y12y22=16-4（x12+x22）+x12x22
故x12+x22=4
（Ⅲ）假设存在点P（t，0），使得|
| PM |
| PN |
则（x1-t）2+y12=（x2-t）2+y22
∴（x1-x2）（x1+x2-2t）=y22-y12
故(x1-x2)(x1+x2-2t)=
| (x1-x2)(x1+x2) |
| 4 |
x1≠x2，∴x1+x2=
| 8 |
| 3 |
又x1x2=
(x1+x2)2-(
| ||||
| 2 |
| 32t2-18 |
| 9 |
∴x1，x2是方程z2-
| 8 |
| 3 |
| 32t2-18 |
| 9 |
由△=
| 64 |
| 9 |
| 4(32t2-18) |
| 9 |
3
| ||
| 4 |
3
| ||
| 4 |
故存在点P（t，0），使得|
| PM |
| PN |
3
| ||
| 4 |
3
| ||
| 4 |
点评：本题考查椭圆的性质与其性质的应用，注意（Ⅲ）的处理存在性问题的一般方法，首先假设存在，进而根据题意、结合有关性质，化简、转化、计算，最后得到结论．
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