Question

如图所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=1，∠ACB=90°，点D为AB的中点．
1）求证：BC₁∥面A₁DC；
2）求棱AA₁的长，使得A₁C与面ABC₁所成角的正弦值等于

2

15

30

．

Answer 1

分析：（1）连接AC₁与A₁C交于点E，则E为AC₁的中点，又点D是AB中点，根据中位线定理可知DE∥BC₁，而DE?面A₁DC，BC₁?面A₁DC，满足线面平行的判定定理，从而BC₁∥面A₁DC；
（2）建立坐标系A（1，0，0）B（0，1，0）C₁（0，0，a），求出平面ABC₁的发向量

n

，然后根据sinα=

|A1C • n |

|A1C || a |

=

2

15

30

建立等式，解之即可求出所求．

解答：解：（1）连接AC₁与A₁C交于点E，则E为AC₁的中点，又点D是AB中点，则DE∥BC₁，
而DE?面A₁DC，BC₁?面A₁DC，则有BC₁∥面A₁DC；
（2）建立坐标系A（1，0，0）B（0，1，0）C₁（0，0，a）
求得平面ABC₁的发向量

n

=(1，1，

1

a

)
sinα=

|A1C • n |

|A1C || a |

=

2

15

30

求得a=

1

2

或

2

∴棱AA₁的长为

1

2

或

2

点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及线面所成角的应用，同时考查了利用空间向量的知识解决立体几何问题，属于中档题．