题目内容

已知非零向量
a
与
b
满足
a
+3
b
与7
a
-5
b
互相垂直，
a
-4
b
与7
a
-2
b
互相垂直．求非零向量
a
与
b
的夹角．
分析：由已知条件得
(
a
+3
b
)•(7
a
-5
b
)=0
(
a
-4
b
)•(7
a
-2
b
)=0
，化简可得
b
2=
a
2，即|
b
|=|
a
|，再由 cosθ=
a
•
b
|
a
|•|
b
|
=
1
2
b
2
|
b
|2
=
1
2
，求得非零向量
a
与
b
夹角θ的值．
解答：解：设非零向量
a
与
b
夹角为θ，则cosθ=
a
•
b
|
a
|•|
b
|
，（3分）
由已知条件得
(
a
+3
b
)•(7
a
-5
b
)=0
(
a
-4
b
)•(7
a
-2
b
)=0
，（5分）
即
7
a
2+16
a
•
b
-15
b
2=0(1)
7
a
2-30
a
•
b
+  8 
b
2=0(2)
，（7分）
（2）-（1）得23
b
2-46
a
•
b
=0，即
b
2=2
a
•
b
，（9分）
代入（1）可得 
b
2=
a
2，即|
b
|=|
a
|，
所以cosθ=
a
•
b
|
a
|•|
b
|
=
1
2
b
2
|
b
|2
=
1
2
，而θ∈[0，π]，则有θ=
π
3
．（12分）
点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量夹角公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知非零向量
AB
与
AC
满足（
AB
|
AB|
+
AC
|
AC|
）•
BC
=0，且
AB
|
AB|
•
AC
|
AC|
=-
1
2
，则△ABC为（　　）
A、等腰非等边三角形
B、等边三角形
C、三边均不相等的三角形
D、直角三角形
已知非零向量
AB
与
AC
满足(
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
)•
BC
=0，且
AB
|
AB
|
•
AC
|
AC
|
=
1
2
，则△ABC为
 
三角形．
已知非零向量
AB
与
AC
满足(
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
).
BC
=0且
AB
|
AB
|
•
AC
|
AC
|
=
1
2
． 则△ABC为（　　）
已知非零向量
AB
与
AC
满足(
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
).
BC
=0且
AB
|
AB
|
•
AC
|
AC
|
=
1
2
． 则△ABC为（　　）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形
已知非零向量
AB
与
AC
满足（
AB
|
AB|
+
AC
|
AC|
）•
BC
=0，且
AB
|
AB|
•
AC
|
AC|
=-
1
2
，则△ABC为（　　）
A．等腰非等边三角形B．等边三角形
C．三边均不相等的三角形D．直角三角形

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