题目内容

若函数y=f（x）是函数y=a^x（0＜a≠1）的反函数，其图象经过点（ $数学公式$ ，a），则函数y=f（x+ $数学公式$ -3）的值域为 ________．

（-∞，0]
分析：先利用求反函数的方法得出原函数的反函数，结合其图象经过点（ $\text{[math]}$ ，a）求出a值，最后利用对数函数的性质结合基本不等式即可求得函数y=f（x+ $\text{[math]}$ -3）的值域．
解答：函数y=f（x）是函数y=a^x（0＜a≠1）的反函数是：
y=log_ax，
∵其图象经过点（ $\text{[math]}$ ，a），
∴log_a $\text{[math]}$ =a，?a= $\text{[math]}$ ，
函数y=f（x+ $\text{[math]}$ -3）= $\text{[math]}$ （x+ $\text{[math]}$ -3）
∵x+ $\text{[math]}$ -3≥2 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ （x+ $\text{[math]}$ -3）≤0．
则函数y=f（x+ $\text{[math]}$ -3）的值域为：（-∞，0]
故答案为：（-∞，0]．
点评：求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．