题目内容

若函数y=f(x)是函数y=ax(0<a≠1)的反函数,其图象过点(
a
,a)
,且函数y=-f(x+
m
x
-3)
在区间(2,+∞)上是增函数,则正数m的取值范围是
 
分析:由条件求得f(x)=log
1
2
x
,结合题意可得函数t=log
1
2
(x+
m
x
-3)
在区间(2,+∞)上是减函数.再根据x+
m
x
-3在区间(2,+∞)上大于零,且x+
m
x
-3在(
m
,+∞)是增函数,可得
m
≤2
2+
m
2
-3≥0
,由此解得m的范围.
解答:解:由题意可得函数y=f(x)=logax,再根据其图象过点(
a
,a)

可得loga
a
=a,即a=
1
2
,∴f(x)=log
1
2
x

∵函数y=-f(x+
m
x
-3)
在区间(2,+∞)上是增函数,且-f(x+
m
x
-3)=-log
1
2
(x+
m
x
-3)

∴函数t=log
1
2
(x+
m
x
-3)
在区间(2,+∞)上是减函数,故x+
m
x
-3在区间(2,+∞)上是增函数.
再根据x+
m
x
-3在区间(2,+∞)上大于零,且x+
m
x
-3在(
m
,+∞)是增函数,
可得
m
≤2
2+
m
2
-3≥0
,解得2≤m≤4,
故答案为[2,4].
点评:本题主要考查求反函数,函数的单调性的性质,体现了转化的数学思想,属于中档题.
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