题目内容
若函数y=f(x)是函数y=ax(0<a≠1)的反函数,其图象过点(
,a),且函数y=-f(x+
-3)在区间(2,+∞)上是增函数,则正数m的取值范围是 .
a |
m |
x |
分析:由条件求得f(x)=log
x,结合题意可得函数t=log
(x+
-3)在区间(2,+∞)上是减函数.再根据x+
-3在区间(2,+∞)上大于零,且x+
-3在(
,+∞)是增函数,可得
,由此解得m的范围.
1 |
2 |
1 |
2 |
m |
x |
m |
x |
m |
x |
m |
|
解答:解:由题意可得函数y=f(x)=logax,再根据其图象过点(
,a),
可得loga
=a,即a=
,∴f(x)=log
x.
∵函数y=-f(x+
-3)在区间(2,+∞)上是增函数,且-f(x+
-3)=-log
(x+
-3),
∴函数t=log
(x+
-3)在区间(2,+∞)上是减函数,故x+
-3在区间(2,+∞)上是增函数.
再根据x+
-3在区间(2,+∞)上大于零,且x+
-3在(
,+∞)是增函数,
可得
,解得2≤m≤4,
故答案为[2,4].
a |
可得loga
a |
1 |
2 |
1 |
2 |
∵函数y=-f(x+
m |
x |
m |
x |
1 |
2 |
m |
x |
∴函数t=log
1 |
2 |
m |
x |
m |
x |
再根据x+
m |
x |
m |
x |
m |
可得
|
故答案为[2,4].
点评:本题主要考查求反函数,函数的单调性的性质,体现了转化的数学思想,属于中档题.
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