Question

设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，对于任意的正整数n都有等式

S1

a1+2

+

S2

a2+2

+…+

Sn

an+2

=

1

4

Sn成立．
（1）求证Sn= 

1

4

a

2 n

+

1

2

an（n∈N⁺）；
（2）求数列{S_n}的通项公式；
（3）记数列{

1

Sn

}的前n项和为T_n，求证T_n＜1．

Answer 1

分析：（1）根据Sn与an的固有关系an=

s1    n=1 sn-sn-1    n≥2

，结合已知

S1

a1+2

+

S2

a2+2

+…+

Sn

an+2

=

1

4

Sn，代入化简，整理．注意n=1情况．
（2）在（1）的基础上，再次利用根据Sn与an的固有关系，求数列{a_n}的通项，探求数列{a_n}的性质，以利于求解．
（3）由（2）可求得S_n=n（n+1），

1

Sn

=

1

n

-

1

n+1

，用裂项求和法即可获解．

解答：解：（1）当n=1时，a₁=2．
当n≥2时，
a_n=s_n-s_n-1=4•

Sn

an+2

，
∴Sn=

1

4

an2+

1

2

an，
当n=1时，也符合Sn=

1

4

an2+

1

2

an，
∴Sn=

1

4

an2+

1

2

an(n∈N*)
（2）当n≥2时，
an=Sn-Sn-1=

1

4

an2+

1

2

an-

1

4

an-12-

1

2

an-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=2
于是数列{a_n}是首项为2，
公差为2的等差数列．∴Sn=n×2+

n(n-1)

2

×2=n(n+1)）
（3）由（2）知

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴Tn=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=1-

1

n+1

＜1

点评：本题考查Sn与an关系的具体应用，等差数列的定义，数列裂项求和知识和方法．要注意对n的值进行讨论．