Question

设各项均为正数的数列{a_n}和{b_n}满足5an，5bn，5an+1成等比数列，lgb_n，lga_n+1，lgb_n+1成等差数列，且a₁=1，b₁=2，a₂=3，求通项a_n、b_n．

Answer 1

分析：由等比中项、等差中项的性质得a_n+1=

bn•bn+1

递推出a_n=

bn-1•bn

（n≥2）．

解答：解：∵5^a_n，5^b_n，5^a_n+1成等比数列，
∴（5^a_n）²=5^b_n•5^a_n+1，即2b_n=a_n+a_n+1．①
又∵lgb_n，lga_n+1，lgb_n+1成等差数列，
∴2lga_n+1=lgb_n+lgb_n+1，即a_n+1²=b_n•b_n+1．②
由②及a_i＞0，b_j＞0（i、j∈N^*）可得
a_n+1=

bn•bn+1

．③
∴a_n=

bn-1bn

（n≥2）．④
将③④代入①可得2b_n=

bn-1•bn

+

bn•bn+1

（n≥2），
∴2

bn

=

bn-1

+

bn+1

（n≥2）．
∴数列{

bn

}为等差数列．
∵b₁=2，a₂=3，a₂²=b₁•b₂，∴b₂=

9

2

．
∴

bn

=

2

+（n-1）（

9 2

-

2

）
=

1

2

（n+1）（n=1也成立）．
∴b_n=

(n+1)2

2

．
∴a_n=

bn-1•bn

=

n2 2 • (n+1)2 2

=

n(n+1)

2

（n≥2）．
又当n=1时，a₁=1也成立．
∴a_n=

n(n+1)

2

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题呢．解题过程中注意由S_n求a_n时要注意验证a₁与S₁是否一致．