Question

设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，对于任意的正整数n都有等式Sn=

1

4

a

2 n

+

1

2

an（n∈N^*）成立．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令数列bn=|c|

an

2n

，Tn为数列{b_n}的前n项和，若T_n＞8对n∈N^*恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知可得Sn-1=

1

4

a

n-1 2

+

1

2

an-1(n≥2)从而导出a_n-a_n-1=2（n≥2），由此推出a_n=2n．
（2）由题设条件易得T_n=b₁+b₂+…+b_n=2|c|(

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

)，令Mn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，利用错位相消法能够求出M_n，由题意4|c|[1-

n+2

2n+1

]＞8，|c|＞

2

1- n+2 2n+1

对n∈N^*恒成立，利用1-

n+2

2n+1

单调性得即可求出c的取值范围．

解答：解：（1）∵Sn=

1

4

a

2 n

+

1

2

an，
∴Sn-1=

1

4

a

2 n-1

+

1

2

an-1(n≥2)…（2分）
∴an=Sn-Sn-1=

1

4

a

2 n

+

1

2

an-(

1

4

a

2 n-1

+

1

2

an-1)
∴a_n-a_n-1=2…（4分）
又a₁=2，∴a_n=2n…（6分）
（2）bn=|c|

an

2n

=2|c|

n

2n

，
T_n=b₁+b₂+…+b_n=2|c|(

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

)…（7分）
设Mn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，

1

2

Mn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，
∴

1

2

Mn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…

1

2n

-

n

2n+1

，
∴Mn=2[1-

n+2

2n+1

]…（10分）
∴Tn=4|c|[1-

n+2

2n+1

]…（11分）
由题意4|c|[1-

n+2

2n+1

]＞8，
∴|c|＞

2

1- n+2 2n+1

对n∈N^*恒成立             …（13分）
由1-

n+2

2n+1

单调性得

1

4

≤1-

n+2

2n+1

＜1
∴1＜

2

1- n+2 2n+1

≤4
要使T_n＞8对n∈N^*恒成立，故|c|＞8…（15分）
∴c的取值范围是（-∞，8）∪（8，+∞）…（16分）

点评：本题考查数列的性质和应用，等差关系的确定，等比数列的前n项和等．解题时要认真审题，注意计算能力的培养．