Question

已知等比数列{a_n}中，a₂，a₃，a₄分别是某等差数列的第5项、第3项和第2项，且a₄=8，公比q≠1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设某等差数列{c_n}的公差为d，等比数列{a_n}的公比为q，依题意可求得q=

1

2

，从而可求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=(

1

2

)n-7，于是可求得b_n=log227-n=7-n，继而可得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：设某等差数列{c_n}的公差为d，等比数列{a_n}的公比为q，
∵a₂，a₃，a₄分别是某等差数列{c_n}的第5项、第3项和第2项，且a₄=8，
∴a₂=c₅，a₃=c₃，a₄=c₂=8，
∴c₅=c₃+2d=c₂+3d，即a₂=a₃+2d=a₄+3d，消去d得：

a2-a3

2

=

a2-a4

3

，
∴a₂=3a₃-2a₄=3a₃-16，
即

8

q2

=3•

4

q

-16，解得q=

1

2

或q=1，又q≠1，
∴q=

1

2

，
∴a_n=64×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-7．
（Ⅱ）b_n=log2[64×(

1

2

)n-1]=log227-n=7-n，
∴T_n=

N(6+7-n)

2

=-

1

2

n²+

13n

2

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式与求和公式的应用，属于中档题．