Question

【题目】已知函数，若存在常数，对任意都有，则称函数为T倍周期函数.

（1）判断是否是T倍周期函数，并说明理由；

（2）证明是T倍周期函数，且T的值是唯一的；

（3）若是2倍周期函数，，，表示的前n项和，，若恒成立，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）不是，理由见解析；（2）证明见解析；（3）或.

【解析】

（1）假设是T倍周期函数，推出矛盾即可说明不是T倍周期函数；

（2）根据定义，可得到对任意x恒成立，即可求出的值，证明唯一性即可；

（3）由是2倍周期函数，可求出的奇数项和偶数项，进而可求得和，从而求得的表达式，然后判断数列的单调性，可求得，使得，解不等式即可.

（1）不是，

假设是T倍周期函数，则，

则对任意x恒成立，

显然不存在，所以不是T倍周期函数.

（2）设，

则对任意x恒成立，

即，则，

下证唯一性：

若，矛盾，

若，矛盾

是唯一的；

（3），

，

，

…

，

所以，

同理：，

，

.

则，，，

显然时，，

因为函数在上单调递减，

所以时，数列是递减数列，

，

恒成，

，

，

若时，则，解得；

若时，，解得，

综上，a的取值范围是或.