Question

10．设函数f（x）=e^x（2x-1）+ax-a，其中a＞-1，若关于x不等式f（x）＜0的整数解有且只有一个，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-1，$\frac{3}{2e}$]
• B． （-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2e}$]
• C． （-$\frac{3}{4}$，-$\frac{3}{2e}$]
• D． （-1，-$\frac{3}{2e}$]

Answer 1

分析 设g（x）=e^x（2x-1），y=a-ax，求导g′（x）=e^x（2x+1），从而可得a＞g（0）=-1，且g（-1）=-3e^-1≥a+a，从而解得．

解答 解：设g（x）=e^x（2x-1），y=a-ax，

由题意知，存在唯一的整数x₀，使g（x₀）在直线y=a-ax的下方，
∵g′（x）=e^x（2x+1），
∴当x＜$-\frac{1}{2}$时，g′（x）＜0，当x＞$-\frac{1}{2}$时，g′（x）＞0，
∴g_min（x）=g（$-\frac{1}{2}$）=-2${e}^{-\frac{1}{2}}$；
且g（0）=-1，g（1）=3e＞0，
直线y=a-ax恒过点（1，0），且斜率为-a，
结合图象可知，
故y|_x=0=a＞g（0）=-1，且g（-1）=-3e^-1≥y|_x=-1=a+a，
解得，-1＜a≤-$\frac{3}{2e}$，
故选D．

点评 本题考查了导数的综合应用及数形结合思想的应用．