题目内容

设向量
a
=(2cosx，1)，
b
=(cosx，
3
sin2x)，若存在x∈[0，
π
2
]，使得不等式
a
•
b
-k≤0成立，则实数k的最小值是
3
3
．
分析：利用向量数量积坐标运算公式和三角恒等变换，可得
a
•
b
=2sin（2x+
π
6
）+1，从而得到当0≤x≤
π
2
时，
a
•
b
的取值范围为[0，3]，最后结合不等式恒成立的条件，即可得到实数k的最小值．
解答：解：∵
a
=(2cosx，1)，
b
=(cosx，
3
sin2x)
∴
a
•
b
=2cos2x+
3
sin2x=1+cos2x+
3
sin2x=2sin（2x+
π
6
）+1
∵x∈[0，
π
2
]，得2x+
π
6
∈[
π
6
，
7π
6
]
∴-
1
2
≤sin（2x+
π
6
）≤1，得0≤2sin（2x+
π
6
）+1≤3
即
a
•
b
的取值范围为[0，3]
∵不等式
a
•
b
-k≤0成立，
∴k≥（
a
•
b
）max，得k≥3，k的最小值为3
故答案为：3
点评：本题给出含有向量数量积的不等式恒成立，求参数k的最小值．着重以向量的坐标运算为载体，考查三角函数和不等式恒成立的知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
（2012•陕西）设向量
a
=（1．cosθ）与
b
=（-1，2cosθ）垂直，则cos2θ等于 （　　）
设平面上有两个向量
a
=(2cosθ，2sinθ)，θ∈(0，2π)，
b
=(-1，
3
)．
（1）求证：向量
a
+
b
与
a
-
b
的垂直：
（2）当向量
3
a
+
b
与
a
-
3
b
的模相等时，求θ的值．
设向量
a
=（cosωx，2cosωx），
b
=（2cosωx，sinωx）（x∈R，ω＞0），已知函数f（x）=
a
•
b
+1的最小正周期是
π
2
．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的最大值，并求出f（x）取得最大值的x的集合．
已知向量
a
=(2cosθ，1)，
b
=(sinθ+cosθ，1)，- 
π
2
＜θ＜
π
2

（I）若
a
∥
b
，求θ的值
（II）设f（θ）=
a
•
b
，求函数f（θ）的最大值及单调递增区间．
已知向量
a
=(2cosωx，1)，
b
=(sinωx+cosωx，-1)，（ω∈R，ω＞0），设函数f(x)=
a
•
b
(x∈R)，若f（x）的最小正周期为
π
2
．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调区间．

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