Question

已知向量

a

=(2cosθ，1)，

b

=(sinθ+cosθ，1)，- 

π

2

＜θ＜

π

2

（I）若

a

∥

b

，求θ的值
（II）设f（θ）=

a

•

b

，求函数f（θ）的最大值及单调递增区间．

Answer 1

分析：（I）由题设条件，

a

∥

b

，，可得sinθ=cosθ，由此得tanθ=1，再由-

π

2

＜θ＜

π

2

，即可判断出θ的值；
（II）由f（θ）=

a

•

b

及两向量的坐标得到f（θ）的函数解析式，再由三角函数的最值的判断出函数的最值，利用正弦函数的单调性求出函数的单调递增区间．

解答：解：（I）因为

a

∥

b

，，可得sinθ=cosθ，由此得tanθ=1，又-

π

2

＜θ＜

π

2

，故有θ=

π

4

（II）f（θ）=

a

•

b

=2sinθcosθ+2cos²θ+1=sin2θ+cos2θ+2=

2

sin（2θ+

π

4

）+2
因为θ∈(-

π

2

，

π

2

)，所以2θ+

π

4

∈(-

3π

4

，

5π

4

)
∴函数f（θ）的最大值为

2

+2，
令2kπ-

π

2

＜2θ+

π

4

＜2kπ+

π

2

解得θ∈(kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

)
故函数的单调递增区间是(kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

)

点评：本题考查平面向量数量积的运算及三角函数的最值求法，解题的关键是熟练掌握向量的数量积的运算，平面向量数量积是考试的一个热点，应注意总结其运算规律，三角函数的最值在近年的高考中出现的频率也很高，在某些求最值的问题中，将问题转化到三角函数中利用三角函数的有界性求函数最值，方便了求最值