题目内容
【题目】若存在不为零的常数,使得函数
对定义域内的任一
均有
,则称函数
为周期函数,其中常数
就是函数的一个周期.
(Ⅰ)证明:若存在不为零的常数使得函数
对定义域内的任一
均有
,则此函数是周期函数;
(Ⅱ)若定义在上的奇函数
满足
,试探究此函数在区间
内的零点的最少个数.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)4035个.
【解析】
试题(Ⅰ)由于存在不为零的常数a使得函数y=f(x)对定义域内的任一x均有,可得f(x+2a)=-f(x+a)=f(x),即可得出此函数是周期.
(Ⅱ)由于定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(x+1)=-f(x),可得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),于是函数f(x)是以2为周期的周期函数.由于f(0)=0,可得,
即可得出此函数在区间
内的零点的最少个数.
试题解析:
(Ⅰ)证明:因为存在不为零的常数使得函数
对定义域内的任一
均有
,所以有:
即有:,
因此,函数是周期函数,且
就是函数的一个周期.
(Ⅱ)解:因为定义在上的函数
满足
,
由⑴可知:函数是周期函数,且
就是函数的一个周期,
即有
又因为函数是
上的奇函数,所以
。
且,所以
……①
又,所以
,
同理有:
……②
由①②有:
。又
,
所以此函数在区间内的零点最少有
个.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目