Question

函数f（x）=3x-x³在区间（a²-12，a）上有最小值，则实数a的取值范围是

（-1，2]

．

Answer 1

分析：求函数f（x）=3x-x³导数，由于函数在区间（a²-12，a）上有最小值，故最小值点的横坐标是集合（a²-12，a）的元素，由此可以得到关于参数a的等式，解之求得实数a的取值范围．

解答：解：由f（x）=3x-x³，
得f'（x）=3-3x²，
令f'（x）＞0，解得-1＜x＜1；令f'（x）＜0解得x＜-1或x＞1
由此得函数在（-∞，-1）上是减函数，在（-1，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数
故函数在x=-1处取到极小值-2，
因为函数在（a²-12，a）的端点处的函数值取不到，
所以此极小值必是区间（a²-12，a）上的最小值．
∴a²-12＜-1＜a，解得-1＜a＜

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又当x=2时，f（2）=-2，故有a≤2
综上知a∈（-1，2]．
故答案为（-1，2]．

点评：本题考查用导数研究函数的最值，利用导数研究函数的最值是导数作为数学中工具的一个重要运用，要注意把握其作题步骤，求导，确定单调性，得出最值，是中档题．