题目内容
设函数f(x)=
.
(1)已知s=-t+
(t>1),求证:f(
)=
;
(2)证明:存在函数t=φ(s)=as+b(s>0),满足f(
)=
;
(3)设x1=
,xn+1=f(xn),n=1,2,….问:数列{
}是否为等差数列?若是,求出数列{xn}中最大项的值;若不是,请说明理由.
3x-1 |
x+1 |
(1)已知s=-t+
1 |
2 |
t-1 |
t |
s+1 |
s |
(2)证明:存在函数t=φ(s)=as+b(s>0),满足f(
s+1 |
s |
t-1 |
t |
(3)设x1=
11 |
17 |
1 |
xn-1 |
分析:(1)利用函数的表达式求出f(
)及
,得出f(
)=
;
(2)先计算f(
)和
,假设
=
列式得出a,b的值,从而得出存在函数t=φ(s)=-s-
(s>0),满足f(
)=
;
(3)利用xn+1=f(xn),得出xn+1=
,再计算
-
=
-
=
,从而得出数列{
}是等差数列,且结合函数的单调性得到当n=7时,数列{xn}中最大项.
t-1 |
t |
s+1 |
s |
t-1 |
t |
s+1 |
s |
(2)先计算f(
s+1 |
s |
t-1 |
t |
2S+3 |
2S+1 |
as+b-1 |
as+b |
1 |
2 |
s+1 |
s |
t-1 |
t |
(3)利用xn+1=f(xn),得出xn+1=
3x n-1 |
x n+1 |
1 |
x n+1-1 |
1 |
x n-1 |
1 | ||
|
1 |
x n-1 |
1 |
2 |
1 |
xn-1 |
解答:解:(1)f(
)=
=
=
=
;
∴f(
)=
;
(2)f(
)=
=
=
;
由
=
得:
故存在函数t=φ(s)=-s-
(s>0),满足f(
)=
;
(3)∵xn+1=f(xn),
∴xn+1=
,
∴
-
=
-
=
,
∴数列{
}是等差数列,首项为:
=-
,公差为
,
∴
=-
+
(n-1),xn=
+1,
当n=7时,数列{xn}中最大项为:x7=7.
t-1 |
t |
3•
| ||
|
2t-3 |
2t-1 |
s+1 |
s |
-t+
| ||
-t+
|
2t-3 |
2t-1 |
∴f(
t-1 |
t |
s+1 |
s |
(2)f(
s+1 |
s |
3•
| ||
|
2S+3 |
2S+1 |
t-1 |
t |
as+b-1 |
as+b |
由
2S+3 |
2S+1 |
as+b-1 |
as+b |
|
故存在函数t=φ(s)=-s-
1 |
2 |
s+1 |
s |
t-1 |
t |
(3)∵xn+1=f(xn),
∴xn+1=
3x n-1 |
x n+1 |
∴
1 |
x n+1-1 |
1 |
x n-1 |
1 | ||
|
1 |
x n-1 |
1 |
2 |
∴数列{
1 |
xn-1 |
1 | ||
|
17 |
6 |
1 |
2 |
∴
1 |
xn-1 |
17 |
6 |
1 |
2 |
2 | ||
n-
|
当n=7时,数列{xn}中最大项为:x7=7.
点评:本小题主要考查函数单调性的应用、数列与函数的综合、等差数列等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于中档题.
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