题目内容

设函数f(x)=
3x-1
x+1

(1)已知s=-t+
1
2
(t>1),求证:f(
t-1
t
)=
s+1
s

(2)证明:存在函数t=φ(s)=as+b(s>0),满足f(
s+1
s
)=
t-1
t

(3)设x1=
11
17
,xn+1=f(xn),n=1,2,….问:数列{
1
xn-1
}是否为等差数列?若是,求出数列{xn}中最大项的值;若不是,请说明理由.
分析:(1)利用函数的表达式求出f(
t-1
t
)及
s+1
s
,得出f(
t-1
t
)=
s+1
s

(2)先计算f(
s+1
s
)和
t-1
t
,假设
2S+3
2S+1
=
as+b-1
as+b
列式得出a,b的值,从而得出存在函数t=φ(s)=-s-
1
2
(s>0),满足f(
s+1
s
)=
t-1
t

(3)利用xn+1=f(xn),得出xn+1=
3x n-1
x n+1
,再计算
1
x n+1-1
-
1
x n-1
=
1
3x n-1
x n+1
-1
-
1
x n-1
=
1
2
,从而得出数列{
1
xn-1
}是等差数列,且结合函数的单调性得到当n=7时,数列{xn}中最大项.
解答:解:(1)f(
t-1
t
)=
3•
t-1
t
-1
t-1
t
+1
=
2t-3
2t-1

s+1
s
=
-t+
1
2
+1
-t+
1
2
=
2t-3
2t-1

∴f(
t-1
t
)=
s+1
s

(2)f(
s+1
s
)=
3•
s+1
s
-1
s+1
s
+1
=
2S+3
2S+1

t-1
t
=
as+b-1
as+b

2S+3
2S+1
=
as+b-1
as+b
得:
a=-1
b=-
1
2

故存在函数t=φ(s)=-s-
1
2
(s>0),满足f(
s+1
s
)=
t-1
t

(3)∵xn+1=f(xn),
∴xn+1=
3x n-1
x n+1

1
x n+1-1
-
1
x n-1
=
1
3x n-1
x n+1
-1
-
1
x n-1
=
1
2

∴数列{
1
xn-1
}是等差数列,首项为:
1
11
17
-1
=-
17
6
,公差为
1
2

1
xn-1
=-
17
6
+
1
2
(n-1),xn=
2
n-
20
3
+1

当n=7时,数列{xn}中最大项为:x7=7.
点评:本小题主要考查函数单调性的应用、数列与函数的综合、等差数列等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于中档题.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网