题目内容
如图，椭圆
＝1(a＞b＞0)的上，下两个顶点为A，B，直线l：y＝－2，点P是椭圆上异于点A，B的任意一点，连接AP并延长交直线l于点N，连接PB并延长交直线l于点M，设AP所在的直线的斜率为k1，BP所在的直线的斜率为k2.若椭圆的离心率为
，且过点A(0,1)．
(1)求k1·k2的值；
(2)求MN的最小值；
(3)随着点P的变化，以MN为直径的圆是否恒过定点？若过定点，求出该定点；如不过定点，请说明理由．
＝1(a＞b＞0)的上，下两个顶点为A，B，直线l：y＝－2，点P是椭圆上异于点A，B的任意一点，连接AP并延长交直线l于点N，连接PB并延长交直线l于点M，设AP所在的直线的斜率为k1，BP所在的直线的斜率为k2.若椭圆的离心率为，且过点A(0,1)．(1)求k1·k2的值；
(2)求MN的最小值；
(3)随着点P的变化，以MN为直径的圆是否恒过定点？若过定点，求出该定点；如不过定点，请说明理由．
（1）
（2）4
（3）恒过定点(0，－2±2)
（2）4（3）恒过定点(0，－2±2)(1)因为e＝
＝，b＝1，解得a＝2，所以椭圆C的标准方程为
＋y2＝1.(2分)
设椭圆上点P(x0，y0)，有
＋
＝1，
所以k1·k2＝
.(4分)
(2)因为M，N在直线l：y＝－2上，设M(x1，－2)，N(x2，－2)，
由方程知＋y2＝1知，A(0,1)，B(0，－1)，
所以KBM·kAN＝
，(6分)
又由(1)知kAN·kBM＝k1·k2＝－
，所以x1x2＝－12，(8分)
不妨设x1＜0，则x2＞0，则
MN＝|x1－x2|＝x2－x1＝x2＋
≥2
＝4，
所以当且仅当x2＝－x1＝2时，MN取得最小值4.(10分)
(3)设M(x1，－2)，N(x2，－2)，
则以MN为直径的圆的方程为
(x－x1)(x－x2)＋(y＋2)2＝0，(12分)
即x2＋(y＋2)2－12－(x1＋x2)x＝0，若圆过定点，
则有x＝0，x2＋(y＋2)2－12＝0，解得x＝0，y＝－2±2，
所以，无论点P如何变化，以MN为直径的圆恒过定点(0，－2±2)．(16分)
＝，b＝1，解得a＝2，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2分)设椭圆上点P(x0，y0)，有
＋＝1，所以k1·k2＝
.(4分)(2)因为M，N在直线l：y＝－2上，设M(x1，－2)，N(x2，－2)，
由方程知
＋y2＝1知，A(0,1)，B(0，－1)，所以KBM·kAN＝
，(6分)又由(1)知kAN·kBM＝k1·k2＝－
，所以x1x2＝－12，(8分)不妨设x1＜0，则x2＞0，则
MN＝|x1－x2|＝x2－x1＝x2＋
≥2＝4，所以当且仅当x2＝－x1＝2
时，MN取得最小值4.(10分)(3)设M(x1，－2)，N(x2，－2)，
则以MN为直径的圆的方程为
(x－x1)(x－x2)＋(y＋2)2＝0，(12分)
即x2＋(y＋2)2－12－(x1＋x2)x＝0，若圆过定点，
则有x＝0，x2＋(y＋2)2－12＝0，解得x＝0，y＝－2±2
，所以，无论点P如何变化，以MN为直径的圆恒过定点(0，－2±2
)．(16分)
练习册系列答案
相关题目
短轴的一个端点为
，离心率为
.
交椭圆
、
两点，若
．求
的椭圆
(
)过点
的方程;
作斜率为
直线
与椭圆相交于
两点，求
的长.
（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆C上，过F点的直线
与椭圆C交于不同两点
.
的长；
轴于点P（0，y0），求
＝1(a＞b＞0)右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1为其左焦点，已知△AF1B的周长为8，椭圆的离心率为
.
⊥
？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
＝1(a＞b＞0)和双曲线
＝1(a＞0，b＞0)的公共顶点．P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点(P、M都异于A、B)，且满足
＋
＝λ(
＋
)，其中λ∈R，设直线AP、BP、AM、BM的斜率分别记为k1、k2、k3、k4，k1＋k2＝5，则k3＋k4＝________.
＝1(a＞b＞0)恒过定点A(1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值________．
在椭圆＋＝1上，若A点的坐标为(3,0)，
，且
，则
的最小值为________。
的准线与双曲线 
交于
，
两点，点
为抛物线的焦点，若△
为直角三角形，则
的值为（ ）
