Question

A．选修4-1：几何证明选讲
锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC=60？，∠BAC=40？，作OE⊥AB交劣弧

AB

于点E，连接EC，求∠OEC．
B．选修4-2：矩阵与变换
曲线C₁=x²+2y2=1在矩阵M=[

1 2 0 1

]的作用下变换为曲线C₂，求C₂的方程．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
P为曲线C₁：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ为参数）上一点，求它到直线C₂：

x=1+2t y=2

（t为参数）距离的最小值．
D．选修4-5：不等式选讲
设n∈N^*，求证：

C 1 n

+

C 2 N

+L+

C N N

≤

n(2n-1)

．

Answer 1

分析：A．先连OC．由∠ABC=60°，∠BAC=40°，得出∠ACB=80°从而

BE

和

EA

的度数均为80°．故有∠EOC=80°+80°=160°最后得出：∠OEC的大小即可；
B．设P（x，y）为曲线C₂上任意一点，P′（x′，y′）为曲线x²+4xy+2y²=1上与P对应的点，根据矩阵变换得出

x′=x-2y y′=y

结合P′是曲线C₁上的点，求得C₂的方程即可；
C．将曲线C₁化成普通方程（x-1）²+y²=1，圆心是（1，0），直线C₂化成普通方程最后求出曲线C₁上点到直线的距离即可；
D．由柯西不等式，得：（

C 1 n

+

C 2 N

+…+

C N N

）²≤（1+1+…+1）（C_n¹+C_n²+…C_n²+）=n（2ⁿ-1）即可得到证明．

解答：A．选修4-1：几何证明选讲
解：连OC．∵∠ABC=60°，∠BAC=40°，∴∠ACB=80°．（4分）
∵OE⊥AB，∴E为

AB

的中点，∴

BE

和

EA

的度数均为80°．
∴∠EOC=80°+80°=160°．（8分）
∴∠OEC=10°．（10分）
B．选修4-2：矩阵与变换
解：设P（x，y）为曲线C₂上任意一点，P′（x′，y′）为曲线C₂上与P对应的点，

1 2 0 1

x′   y′

 =

x   y

，

x=x′+2y′ y=y′

∴

x′=x-2y y′=y

（5分）
∵P′是曲线C₁上的点，∴C₂的方程（x-2y）²+y²=1．（10分）
C．选修4-4：坐标系与参数方程
解：将曲线C₁化成普通方程（x-1）²+y²=1，圆心是（1，0），
直线C₂化成普通方程是y-2=0，则圆心到直线的距离为2．（5分）
∴曲线C₁上点到直线的距离为1，该点为（1，1）．（10分）
D．选修4-5：不等式选讲
证明：由柯西不等式，得：
（

C 1 n

+

C 2 N

+…+

C N N

）²≤（1+1+…+1）（C_n¹+C_n²+…C_n²+）=n（2ⁿ-1）
∴

C 1 n

+

C 2 N

+…+

C N N

≤

n(2n-1)

．

点评：本题考查柯西不等式，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，几种特殊的矩阵变换，体现了数形结合的数学思想．