Question

定义：设P、Q分别为曲线C₁和C₂上的点，把P、Q两点距离的最小值称为曲线C₁到C₂的距离．
（1）求曲线C：y=x²到直线l：2x-y-4=0的距离；
（2）若曲线C：（x-a）²+y²=1到直线l：y=x-1的距离为3，求实数a的值；
（3）求圆O：x²+y²=1到曲线y=

2x-3

x-2

(x＞2)的距离．

Answer 1

分析：（1）设曲线C：y=x²的点P（x，x²），利用点到直线的距离公式和二次函数的单调性即可得出；
（2）由点到直线的距离的公式即可得出；
（3）由y=

2x-3

x-2

=2+

1

x-2

(x＞2)，可得曲线y=

2x-3

x-2

(x＞2)是中心在（2，2）的双曲线的一支．由函数图象的对称性知，当P、Q是直线y=x和圆、双曲线的交点时，|PQ|有最小值．解方程组

y= 2x-3 x-2 y=x

即可得到Q，进而得到所求距离d=|OQ|-1．

解答：解：（1）设曲线C：y=x²的点P（x，x²），
则d=

|2x-x2-4|

5

=

(x-1)2+3

5

，
∴当x=1时，d取得最小值

3 5

5

．
曲线C：y=x²到直线l：2x-y-4=0的距离为

3 5

5

．               
（2）由题意，得

|a-1|

2

=4，a=1±4

2

．                    
（3）∵y=

2x-3

x-2

=2+

1

x-2

(x＞2)，
∴曲线y=

2x-3

x-2

(x＞2)是中心在（2，2）的双曲线的一支．   
由函数图象的对称性知，当P、Q是直线y=x和圆、双曲线的交点时，|PQ|有最小值．
此时，解方程组

y= 2x-3 x-2 y=x

得Q（3，3），
于是|OQ|=3

2

，
∴圆O：x²+y²=1到曲线y=

2x-3

x-2

(x＞2)的距离为3

2

-1．

点评：本题考查了两曲线的最小值问题、点到直线的距离公式、二次函数的单调性、直线与圆的相切问题等基础知识与基本技能方法，属于难题．