题目内容

10.设M,?>0,|x-a|<$\frac{?}{2}$,|y-b|<$\frac{?}{2}$,|a|≤M,|y|≤M,求证:|xy-ab|<M?.

分析 由条件、以及|xy-ab|=|y(x-a)+a(y-b)|,再利用三角不等式证得结论.

解答 证明:∵|x-a|<$\frac{?}{2}$,|y-b|<$\frac{?}{2}$,|a|≤M,|y|≤M,(M,?>0),
∴|xy-ab|=|y(x-a)+a(y-b)|≤|y(x-a)|+|a(y-b)|,
而|y(x-a)|+|a(y-b)|=|y|•|x-a|+|a|•|y-b|≤M•$\frac{?}{2}$+M•$\frac{?}{2}$=M?,
∴|xy-ab|<M?.

点评 本题主要考查绝对值三角不等式的应用,利用|xy-ab|=|y(x-a)+a(y-b)|,是证题的关键,属于中档题.

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