题目内容
3.是否存在实数a,使f(x)=loga(ax2-x)(a>0,且a≠1)在区间[2,4]上是增函数?若存在,求出a的范围;若不存在,请说明理由.分析 根据题意,设u(x)=ax2-x,再根据二次函数与对数函数的图象与性质,
对字母系数a进行讨论,求出满足题意的a的取值范围.
解答 解:设u(x)=ax2-x,则二次函数u的对称轴为x=$\frac{1}{2a}$;
①当a>1时,要使函数f(x)在[2,4]上为增函数,
则u(x)=ax2-x 在[2,4]上为增函数,
应满足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2a}≤2}\\{u(2)=4a-2>0}\end{array}\right.$,
解得a>$\frac{1}{2}$;
综上得,a>1;
②当0<a<1 时,要使函数f(x)在[2,4]上为增函数,
则u(x)=ax2-x 在[2,4]上为减函数,
应满足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2a}≥4}\\{u(4)=16a-4>0}\end{array}\right.$,
解得a∈∅;
综上,a>1时,函数f(x)=loga(ax2-x)在区间[2,4]上为增函数.
点评 本题考查了复合函数的单调性问题,也考查了分类讨论思想、转化思想的应用问题,是综合性题目.
练习册系列答案
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