题目内容

12.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若c2=(a-b)2+6,△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,则C=$\frac{π}{3}$.

分析 先化简c2=(a-b)2+6得c2=a2+b2-2ab+6,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,两式结合得abcosC=ab-3,由题意和三角形的面积公式列出方程,由平方关系进行化简求出ab、cosC的值,由C的范围和特殊角的余弦值求出C.

解答 解:由题意得,c2=(a-b)2+6,
则c2=a2+b2-2ab+6,
由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcosC,
代入上式可得,abcosC=ab-3,①
因为△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,
所以$\frac{1}{2}absinC=\frac{3\sqrt{3}}{2}$,则absinC=3$\sqrt{3}$,②
2+②2得,(ab)2=(ab-3)2+27,
化简得,ab=6,代入①得cosC=$\frac{1}{2}$,
由0<C<π得C=$\frac{π}{3}$,
故答案为:$\frac{π}{3}$.

点评 本题考查余弦定理,平方关系,三角形的面积公式,以及化简、变形能力,属于中档题.

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