Question

2．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，给出下列四个结论：
①AB，CD所成的角为60°；
②△ADC为等边三角形；
③AC⊥BD；            
④AB与平面BCD所成角为60°
其中真命题是①②③（请将你认为是真命题的序号都填上）

Answer 1

分析 在①中，设AB=BC=CD=AD=2，取BD中点O，AC中点E，BC中点F，推导出△EFO是等边三角形，从而得到AB，CD所成的角为60°；在②中，由OA=OC=$\sqrt{2}$，且OA⊥OC，由此能得到△ADC为等边三角形；在③中，推导出BD⊥面AOC，从而AC⊥BD；在④中，推导出∠ABO是AB与平面BCD所成角，从而得到AB与平面BCD所成角为45°．

解答 解：在①中：∵将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，得到四面体A-BCD，
设AB=BC=CD=AD=2，
取BD中点O，AC中点E，BC中点F，连结AO，CO，OF，OE，EF，
则OA=OC=$\sqrt{2}$，且OA⊥OC，∴OE=$\frac{1}{2}AC$=1，
由三角形中位线定理得OF=$\frac{1}{2}CD=1$，EF=$\frac{1}{2}AB=1$，且OF∥CD，EF∥AB，
∴∠EFO是AB，CD所成的角，
∵OF=EF=OE=1，∴△EFO是等边三角形，∴∠EFO=60°，
∴AB，CD所成的角为60°，故①正确；
在②中：∵OA=OC=$\sqrt{2}$，且OA⊥OC，∴AC=$\sqrt{2+2}$=2，
∴AC=CD=AD=2，
∴②△ADC为等边三角形，故②正确；
在③中：∵AB=BC=CD=AD，O是BD中点，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，又AO∩CO=O，∴BD⊥面AOC，
∵AC?面AOC，∴AC⊥BD，故③正确；
在④中：∵A-BD-C是直二面角，AO⊥BD，
∴AO⊥平面BDC，∴∠ABO是AB与平面BCD所成角，
∵AO=BO，∴∠ABO=45°，
∴AB与平面BCD所成角为45°，故④错误．
故答案为：①②③．

点评 本昰考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．