Question

10．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是边长为2的正三角形，侧面BB₁C₁C是矩形，D、E分别是线段BB₁、AC₁的中点．
（1）求证：DE∥平面A₁B₁C₁；
（2）若平面ABC⊥平面BB₁C₁C，BB₁=4，求三棱锥A-DCE的体积．

Answer 1

分析 （1）取棱A₁C₁的中点F，连接EF、B₁F，利用三角形中位线定理，证明四边形DEFB₁是平行四边形，从而DE∥B₁F，利用线面平行的判定定理即可得出．
（2）过A作AH⊥BC于H，利用V_A-DCE=V_D-ACE=$\frac{1}{2}$${V}_{A-CD{C}_{1}}$，即可得出三棱锥A-DCE的体积．

解答 （1）证明：取棱A₁C₁的中点F，连接EF、B₁F…（1分）
则由EF是△AA₁C₁的中位线得EF∥AA₁，EF=$\frac{1}{2}$AA₁
又DB₁∥AA₁，DB₁=$\frac{1}{2}$AA₁…（3分）
所以EF∥DB₁，EF=DB₁…（4分）
故四边形DEFB₁是平行四边形，从而DE∥B₁F…（5分）
所以DE∥平面A₁B₁C₁…（6分）
（Ⅱ）解：因为E是AC₁的中点，所以V_A-DCE=V_D-ACE=$\frac{1}{2}$${V}_{A-CD{C}_{1}}$…（7分）
过A作AH⊥BC于H…（8分）
因为平面平面ABC⊥平面BB₁C₁C，所以AH⊥平面BB₁C₁C，…（9分）
所以${V}_{A-CD{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×4×\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$…（11分）
所以V_A-DCE=V_D-ACE=$\frac{1}{2}$${V}_{A-CD{C}_{1}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$…（12分）

点评 本题考查三棱柱的性质、线面及面面平行与垂直的判定定理及其性质定理、三角形中位线定理、四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．