题目内容
8.已知函数f(x)=ex+ax.(1)设曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线x+(e-1)y=1垂直,求a的值;
(2)若对任意实数x>0,f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.
分析 (1)求导数,利用导数的几何意义,即可求a的值;
(2)当x>0时,由f(x)>0恒成立,分离参数a,然后构造辅助函数h(x)=-$\frac{{e}^{x}}{x}$,由导数求其最大值,则a的范围可求.
解答 (本题满分为12分)
解:(1)f′(x)=ex+a,因此y=f(x)在(1,f(1))处的切线l的斜率为e+a,
又直线x+(e-1)y=1的斜率为$\frac{1}{1-e}$,
∴(e+a)$\frac{1}{1-e}$=-1,
∴a=-1. …(6分)
(2)∵当x>0时,f(x)=ex+ax>0恒成立,
则a>-$\frac{{e}^{x}}{x}$恒成立,设h(x)=-$\frac{{e}^{x}}{x}$,则h′(x)=$\frac{(1-x){e}^{x}}{{x}^{2}}$,…(8分)
当x∈(0,1)时,h′(x)>0,h(x)在(0,1)上单调递增,
当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,h(x)在(1,+∞)上单调递减,…(10分)
故当x=1时,h(x)取得极大值,h(x)max=h(1)=-e,
∴实数a的取值范围为(-e,+∞). …(12分)
点评 本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程,考查了函数恒成立问题,训练了利用构造函数法求解字母的范围,解答的关键是熟练掌握基本初等函数的导函数.
练习册系列答案
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