题目内容

点P是椭圆
x2
9
+
y2
4
=1上的一点，F1，F2是焦点，且∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积是（　　）
A、
4
3
3
B、4
3
C、
4
3
D、
3
2
分析：根据椭圆的方程算出|F1F2|=2
5
，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=6．然后在△F1PF2中，利用余弦定理算出|PF1|•|PF2|=
16
3
，再利用三角形的面积公式加以计算，可得△F1PF2的面积．
解答：解：椭圆
x2
9
+
y2
4
=1中，a=3，b=2，
∴c=
a2-b2
=
5
，可得焦点为F1（-
5
，0），F2（
5
，0）．
由椭圆的定义，可得|PF1|+|PF2|=2a=6，
∵△F1PF2中，∠F1PF2=60°，
∴根据余弦定理，得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|cos60°，
即（2
5
）2=（|PF1|+|PF2|）2-3|PF1|•|PF2|，可得20=36-3|PF1|•|PF2|，
由此解得|PF1|•|PF2|=
16
3
，
∴△F1PF2的面积S=
1
2
|PF1|•|PF2|sin60°=
4
3
3
．
故选：A
点评：本题给出椭圆上一点P满足的条件，求点P与两个焦点构成三角形的面积．着重考查了椭圆的定义与简单性质、利用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知点P（x，y）是椭圆
x2
9
+
y2
4
=1上的动点．
（1）求2x+3y的取值范围；
（2）求椭圆上的点到直线2x+3y+7
2
=0的最短距离．
（2013•闵行区二模）给出下列四个命题：
①如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2，则复数z在复平面的对应点的轨迹是椭圆．
②若对任意的n∈N*，（an+1-an-1）（an+1-2an）=0恒成立，则数列{an}是等差数列或等比数列．
③设f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，|f（x）|=|f（-x）|恒成立，则f（x）是R上的奇函数或偶函数．
④已知曲线C：
x2
9
-
y2
16
=1和两定点E（-5，0）、F（5，0），若P（x，y）是C上的动点，则||PE|-|PF||＜6．
上述命题中错误的个数是（　　）
（2011•温州二模）已知F1、F2是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）与椭圆
x2
9
+
y2
5
=1的共同焦点，若点P是两曲线的一个交点，且△PF1F2为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是（　　）
给出下列四个命题：
①如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2，则复数z在复平面上所对应点的轨迹是椭圆．
②设f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，|f（x）|=|f（-x）|恒成立，则f（x）是R上的奇函数或偶函数．
③已知曲线C：
x2
9
-
y2
16
=1和两定点E（-5，0）、F（5，0），若P（x，y）是C上的动点，则||PE|-|PF||＜6．
④设定义在R上的两个函数f（x）、g（x）都有最小值，且对任意的x∈R，命题“f（x）＞0或g（x）＞0”正确，则f（x）的最小值为正数或g（x）的最小值为正数．
上述命题中错误的个数是（　　）
已知点P（x，y）是椭圆
x2
9
+
y2
4
=1上的动点．
（1）求2x+3y的取值范围；
（2）求椭圆上的点到直线2x+3y+7
2
=0的最短距离．

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