Question

已知点P（x，y）是椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上的动点．
（1）求2x+3y的取值范围；
（2）求椭圆上的点到直线2x+3y+7

2

=0的最短距离．

Answer 1

分析：由P（x，y）是椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上的动点．可设

x=3cosα y=2sinα

（0≤α≤2π）
（1）2x+3y=6cosα+6sinα=6

2

sin(α+

π

4

)，结合0≤α≤2π可求范围
（2）由点到直线的距离公式可得d=|

2×3cosα+3×2sinα+7 2

4+9

|=|

6 2 sin(α+ π 4 )+7 2

13

|，结合三角函数的性质可求最小值

解答：解：（1）由P（x，y）是椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上的动点．
可设

x=3cosα y=2sinα

（0≤α≤2π）
∴2x+3y=6cosα+6sinα=6

2

sin(α+

π

4

)
∵0≤α≤2π∴

π

4

≤α+ 

π

4

≤

9π

4

∴-1≤sin(α+

π

4

)≤1
∴-6

2

≤2x+3y≤6 

2

（2）由点到直线的距离公式可得d=|

2×3cosα+3×2sinα+7 2

4+9

|
=|

6 2 sin(α+ π 4 )+7 2

13

|
∵-6

2

≤6 

2

sin(α+

π

4

)≤6

2

∴

2

≤6

2

sin(α+

π

4

)+7

2

≤13

2

∴

26

13

≤d≤ 

26

∴最短距离d=

26

13

点评：本题主要考查了直线与椭圆的相交关系的应用，解题的关键是利用三角函数设出P的坐标（即参数方程），从而把所求的函数的取值范围或最值转化为求三角函数的值域及最值．