题目内容

(2011•温州二模)已知F1、F2是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)与椭圆
x2
9
+
y2
5
=1
的共同焦点,若点P是两曲线的一个交点,且△PF1F2为等腰三角形,则该双曲线的渐近线方程是(  )
分析:先利用双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)与椭圆
x2
9
+
y2
5
=1
的共同焦点,求得a2+b2=4,再利用点P是两曲线的一个交点,且△PF1F2为等腰三角形,求得交点坐标,从而可求双曲线的标准方程,进而可求双曲线的渐近线方程
解答:解:不妨设P是两曲线在第一象限的交点,P(x,y)
由题意,椭圆
x2
9
+
y2
5
=1
的焦点为(±2,0)
∵双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0),与椭圆
x2
9
+
y2
5
=1
的共同焦点
∴a2+b2=4①
∵点P是两曲线的一个交点,且△PF1F2为等腰三角形
∴|PF1|=|F1F2|=4
∵椭圆的左准线方程为:x=-
a2
c
=-
9
2

4
x+
9
2
=
2
3

x=
3
2

∵P在椭圆
x2
9
+
y2
5
=1

y2=
15
4

∵P在双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1

9
4
a2
-
15
4
b2
=1

由①②得:
9
4-b2
-
15
b2
=4

∴b2=3,a2=1
b=
3
,a=1

∴双曲线方程为:x2-
y2
3
=1

∴双曲线的渐近线方程是y=±
b
a
x=±
3
x

故选B.
点评:本题以椭圆为载体,考查椭圆与双曲线的几何性质,考查椭圆的定义的运用,属于中档题.
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