题目内容
(2011•温州二模)已知F1、F2是双曲线
-
=1(a>0,b>0)与椭圆
+
=1的共同焦点,若点P是两曲线的一个交点,且△PF1F2为等腰三角形,则该双曲线的渐近线方程是( )
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
x2 |
9 |
y2 |
5 |
分析:先利用双曲线
-
=1(a>0,b>0)与椭圆
+
=1的共同焦点,求得a2+b2=4,再利用点P是两曲线的一个交点,且△PF1F2为等腰三角形,求得交点坐标,从而可求双曲线的标准方程,进而可求双曲线的渐近线方程
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
x2 |
9 |
y2 |
5 |
解答:解:不妨设P是两曲线在第一象限的交点,P(x,y)
由题意,椭圆
+
=1的焦点为(±2,0)
∵双曲线
-
=1(a>0,b>0),与椭圆
+
=1的共同焦点
∴a2+b2=4①
∵点P是两曲线的一个交点,且△PF1F2为等腰三角形
∴|PF1|=|F1F2|=4
∵椭圆的左准线方程为:x=-
=-
∴
=
∴x=
∵P在椭圆
+
=1上
∴y2=
∵P在双曲线
-
=1上
∴
-
=1②
由①②得:
-
=4
∴b2=3,a2=1
∴b=
,a=1
∴双曲线方程为:x2-
=1
∴双曲线的渐近线方程是y=±
x=±
x
故选B.
由题意,椭圆
x2 |
9 |
y2 |
5 |
∵双曲线
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
x2 |
9 |
y2 |
5 |
∴a2+b2=4①
∵点P是两曲线的一个交点,且△PF1F2为等腰三角形
∴|PF1|=|F1F2|=4
∵椭圆的左准线方程为:x=-
a2 |
c |
9 |
2 |
∴
4 | ||
x+
|
2 |
3 |
∴x=
3 |
2 |
∵P在椭圆
x2 |
9 |
y2 |
5 |
∴y2=
15 |
4 |
∵P在双曲线
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
∴
| ||
a2 |
| ||
b2 |
由①②得:
9 |
4-b2 |
15 |
b2 |
∴b2=3,a2=1
∴b=
3 |
∴双曲线方程为:x2-
y2 |
3 |
∴双曲线的渐近线方程是y=±
b |
a |
3 |
故选B.
点评:本题以椭圆为载体,考查椭圆与双曲线的几何性质,考查椭圆的定义的运用,属于中档题.

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