Question

2．已知两个单位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$|（λ＞0），求当$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$最小时$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角．（参考：1+λ²≥2λ，当且仅当λ=1时等号成立．）

Answer 1

分析 把已知等式两边平方得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{1}{4}（λ+\frac{1}{λ}）$，利用不等式求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的最小值，代入数量积求夹角公式得答案．

解答 解：由|λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$|（λ＞0），得
$（λ\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}=3（\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}）^{2}$，
即${λ}^{2}|\overrightarrow{a}{|}^{2}+2λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}$=$3|\overrightarrow{a}{|}^{2}-6λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+3{λ}^{2}|\overrightarrow{b}{|}^{2}$．
∵$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1$，
∴${λ}^{2}+2λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+1=3-6λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+3{λ}^{2}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{1}{4}（λ+\frac{1}{λ}）$$≥\frac{1}{4}•2\sqrt{λ•\frac{1}{λ}}=\frac{1}{2}$．
当且仅当λ=1时上式等号成立．
∴cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1}{2}$．
则当$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$最小时$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了数量积运算的坐标表示，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．