Question

已知函数f（x）=4x+1，g（x）=2x，x∈R，数列{a_n}，{b_n}，{c_n}满足条件：a₁=1，a_n=f（b_n）=g（b_n+1）（n∈N^*），cn=

1

[ 1 2 f(n)+ 1 2 ][g(n)+3]

．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{c_n}的前n项和T_n，并求使得Tn＞

m

150

对任意n∈N^*都成立的最大正整数m；
（Ⅲ）求证：

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＞

n

2

-

1

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意a_n+1=4b_n+1+1，a_n=2b_n+1，由此可知数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．从而得到a_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）由题设条件知cn=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，由此可知T_n＜T_n+1，n∈N^*．当n=1时，T_n取得最小值

1

15

．由题意得

1

15

＞

m

150

，从而得到m=9．
（Ⅲ）证明：由题知

a1

a2

+

a2

a3

++

an

an+1

≥

n

2

-

1

3

(

1

2

+

1

22

++

1

2n

)=

n

2

-

1

3

(1-

1

2n

)．由此可知

a1

a2

+

a2

a3

++

an

an+1

＞

n

2

-

1

3

（n∈N^*）．

解答：解：（Ⅰ）由题意a_n+1=4b_n+1+1，a_n=2b_n+1，
∴a_n+1=2a_n+1，（2分）
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁=1，
∴数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．（4分）
∴．a_n+1=2×2^n-1
∴a_n=2ⁿ-1．（5分）
（Ⅱ）∵cn=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，（7分）
∴Tn=

1

2

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

++

1

2n+1

-

1

2n+3

)=

1

2

(

1

3

-

1

2n+3

)=

n

3×(2n+3)

=

n

6n+9

．（8分）
∵

Tn+1

Tn

=

n+1

6n+15

•

6n+9

n

=

6n2+15n+9

6n2+15n

＞1，
∴T_n＜T_n+1，n∈N^*．
∴当n=1时，T_n取得最小值

1

15

．（10分）
由题意得

1

15

＞

m

150

，得m＜10．
∵m∈Z，
∴由题意得m=9．（11分）
（Ⅲ）证明：
∵

ak

ak+1

=

2k-1

2k+1-1

=

1

2

-

1

2(2k+1-1)

=

1

2

-

1

3×2k+2k-2

≥

1

2

-

1

3

•

1

2k

，
k=1，2，3，，n（12分）
∴

a1

a2

+

a2

a3

++

an

an+1

≥

n

2

-

1

3

(

1

2

+

1

22

++

1

2n

)=

n

2

-

1

3

(1-

1

2n

)．
∴

a1

a2

+

a2

a3

++

an

an+1

＞

n

2

-

1

3

（n∈N^*）．（14分）

点评：本题考查数列的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答．