Question

【题目】已知函数f（x）=1﹣ 是奇函数．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）是R上的增函数．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=1﹣ 是奇函数，

∴f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，

即1﹣ =﹣1+ ，

即 + = =a=2

（2）证明：由（1）得：函数f（x）=1﹣ ，

故f′（x）= ，

∵f′（x）＞0恒成立，

∴f（x）是R上的增函数．

【解析】（1）若函数f（x）=1﹣ 是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，进而可得满足条件的a的值；（2）由（1）可得f（x）=1﹣ ，故f′（x）= ，由f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）是R上的增函数．
【考点精析】关于本题考查的函数单调性的判断方法和函数奇偶性的性质，需要了解单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇才能得出正确答案．