题目内容
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点，若PA=AD=3，CD=| 6 |
①求证：AF∥平面PCE
②求证：平面PCE⊥平面PCD
③求直线FC与平面PCE所成角的正弦值．
分析：①根据有中点找中点做出辅助线，得到三组线线平行，得到四边形是一个平行四边形，得到线线平行，根据线面平行的判断得到结论．
②要证明面面垂直，根据证明面面垂直的判断需要找一条和两个平面垂直的一条直线，根据线面垂直的判断和性质，得到结论．
③在平面PCD内作FH⊥PC，则FH⊥平面PCE，得到∠FCH是FC与平面PCE所成的角，在这个可解的三角形中，求出角的正弦值．
②要证明面面垂直，根据证明面面垂直的判断需要找一条和两个平面垂直的一条直线，根据线面垂直的判断和性质，得到结论．
③在平面PCD内作FH⊥PC，则FH⊥平面PCE，得到∠FCH是FC与平面PCE所成的角，在这个可解的三角形中，求出角的正弦值．
解答：解：①取PC中点G，连接EG，FG；又由F为PD中点
∴FG
CD
又∵AE
CD
∴FG
AE，即可得四边形AEFG是平行四边形
∴AF∥EG
又AF?平面PCE，EG?平面PCE
∴AF∥平面PCE
②∵PA⊥平面ABCD
∴平面PAD⊥平面ABCD
∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，又AF在面PAD内
∴CD⊥AF
∵PA=AD，F为AD中点
∴AF⊥PD，又∵PD∩CD=D
∴AF⊥平面PCD
又∵EG∥AF
∴EG⊥平面PCD
又∵EG?平面PCE
∴平面PCE⊥平面PCD（8分）
③在平面PCD内作FH⊥PC，则FH⊥平面PCE
∴∠FCH是FC与平面PCE所成的角
在△FCH中，FH=
，FC=
∴sin∠FCH=
∴直线FC与平面PCE所成角的正弦值为
（12分）
∴FG
| ||
. |
| 1 |
| 2 |
又∵AE
| ||
. |
| 1 |
| 2 |
∴FG
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. |
∴AF∥EG
又AF?平面PCE，EG?平面PCE
∴AF∥平面PCE
②∵PA⊥平面ABCD
∴平面PAD⊥平面ABCD
∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，又AF在面PAD内
∴CD⊥AF
∵PA=AD，F为AD中点
∴AF⊥PD，又∵PD∩CD=D
∴AF⊥平面PCD
又∵EG∥AF
∴EG⊥平面PCD
又∵EG?平面PCE
∴平面PCE⊥平面PCD（8分）
③在平面PCD内作FH⊥PC，则FH⊥平面PCE
∴∠FCH是FC与平面PCE所成的角
在△FCH中，FH=
3
| ||
| 4 |
| ||
| 2 |
| ||
| 14 |
∴直线FC与平面PCE所成角的正弦值为
| ||
| 14 |
点评：本题考查空间的点线面之间的位置关系和二面角的求法，解题的关键是画出二面角的平面角，把平面角放到一个可解的三角形中求解．
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