Question

如图，已知平面A₁B₁C₁平行于三棱锥V-ABC的底面ABC，等边△ AB₁C所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设AC=2a,BC=a.

（1）求证直线B₁C₁是异面直线AB₁与A₁C₁的公垂线；

（2）求点A到平面VBC的距离；

（3）求二面角A-VB-C的大小.

Answer 1

解：取AC中点O连B₁O，易知OB₁⊥底面ABC，过O作直线OE∥BC交AB于E.

取O为空间直角坐标系的原点，OE，OC，OB₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则A（0，-a,0),B(a,a,0),C(0,a,0),B₁(0,0,).

(1)∵=(-a,0,0),=(0,a,),

∴·=（-a,0,0)·（0，a,)=0.∴⊥.

又∵B₁C₁∥BC,B₁C₁⊥AB₁,

且由已知BC⊥AC，AC∥A₁C₁，∴BC⊥A₁C₁.

而BC∥B₁C₁，∴B₁C₁⊥A₁C₁.

又B₁C₁与AB₁，A₁C₁显然相交，∴B₁C₁是AB₁与A₁C₁的公垂线.

（2）设平面VBC的一个法向量n=（x,y,z)，又=(0,-a,),

由得取z=1,得n=(0,,1).

点A到平面VBC的距离，即在平面VBC的法向量n上的投影的绝对值.

∴=（0，a，）.设所求距离为d.

则d=|||·cos〈·n〉|=|||·.

所以，A到平面VBC的距离为.

（3）设平面VAB的一个法向量m=(x₁,y₁,z₁),

由得∴

取z₁=1,m=(,1),∴cos〈m,n〉=.

又∵二面角A-VB-C为锐角，∴二面角A-VB-C的大小为π-arccos.