题目内容
如图，设曲线y=e-x（x≥0）在点M（t，e-t）处的切线l与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t），求：
（1）切线l的方程；
（2）求证
．
解：（1）∵f′（x）=（e-x）′=-e-x，∴切线l的斜率为-e-t
故切线l的方程为y-e-t=-e-t（x-t），即e-tx+y-e-t（t+1）=0
（2）证明：令y=0得x=t+1，又令x=0得y=e-t（t+1），
∴
从而
．
∵当t∈（0，1）时，S′（t）＞0，当t∈（1，+∞）时，S′（t）＜0，
∴S（t）的最大值为
，即
分析：（1）先求切线斜率，进而可求切线方程；
（2）根据曲线y=e-x（x≥0）在点M（t，e-t）处的切线l与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t），表示出S（t），再用导数法求解．
点评：应用导数法求函数的最值，并结合函数图象，可快速获解，也充分体现了求导法在证明不等式中的优越性．
故切线l的方程为y-e-t=-e-t（x-t），即e-tx+y-e-t（t+1）=0
（2）证明：令y=0得x=t+1，又令x=0得y=e-t（t+1），
∴
从而
．∵当t∈（0，1）时，S′（t）＞0，当t∈（1，+∞）时，S′（t）＜0，
∴S（t）的最大值为
，即分析：（1）先求切线斜率，进而可求切线方程；
（2）根据曲线y=e-x（x≥0）在点M（t，e-t）处的切线l与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t），表示出S（t），再用导数法求解．
点评：应用导数法求函数的最值，并结合函数图象，可快速获解，也充分体现了求导法在证明不等式中的优越性．
练习册系列答案
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如图，过曲线C：y=e-x上一点P0（0，1）做曲线C的切线l0交x轴于Q1（x1，0）点，又过Q1做x轴的垂线交曲线C于P1（x1，y1）点，然后再过P1（x1，y1）做曲线C的切线l1交x轴于Q2（x2，0），又过Q2做x轴的垂线交曲线C于P2（x2，y2），…，以此类推，过点Pn的切线ln与x轴相交于点Qn+1（xn+1，0），再过点Qn+1做x轴的垂线交曲线C于点Pn+1（xn+1，yn+1）（n=1，2，3，…）．
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，N＝
，设曲线y＝sinx在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．
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≥2y＋3．
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（n∈N+）．