Question

如图，过曲线C：y=e^-x上一点P₀（0，1）做曲线C的切线l₀交x轴于Q₁（x₁，0）点，又过Q₁做x轴的垂线交曲线C于P₁（x₁，y₁）点，然后再过P₁（x₁，y₁）做曲线C的切线l₁交x轴于Q₂（x₂，0），又过Q₂做x轴的垂线交曲线C于P₂（x₂，y₂），…，以此类推，过点P_n的切线l_n与x轴相交于点Q_n+1（x_n+1，0），再过点Q_n+1做x轴的垂线交曲线C于点P_n+1（x_n+1，y_n+1）（n=1，2，3，…）．
（1）求x₁、x₂及数列{x_n}的通项公式；
（2）设曲线C与切线l_n及垂线P_n+1Q_n+1所围成的图形面积为S_n，求S_n的表达式；
（3）若数列{S_n}的前n项之和为T_n，求证：

Tn+1

Tn

＜

xn+1

xn

（n∈N⁺）．

Answer 1

分析：（1）先求出导函数进而求出切线的斜率，再把1，2代入就可求出求x₁、x₂的值．求出点P_n的切线l_n的方程即可求出及数列{x_n}的通项公式；
（2）直接利用定积分来求S_n的表达式即可；
（3）利用（2）的结论先求出数列{S_n}的前n项之和为T_n，再把所要证明的结论转化为用数学归纳法证明eⁿ⁺¹＞（e-1）n+e即可

解答：解：（1）y′=-e^-x，设l_n的斜率为k_n，则kn=-e-xn
∴l₀的方程为：y=-x+1，令y=0得x₁=1，∴y₁=-e^-1P₁（1，e^-1），k1=-e-x1=-e-1
∴l₁的方程为：y-e^-1=-e^-1（x-1），令y=0得x₂=2，
一般地，l_n的方程为：y-e-xn=-e-xn(x-xn)，由Q_n+1（x_n+1，0）∈l_n
得：x_n+1-x_n=1，∴x_n=n （4分）
（2）Sn=

∫

n+1 n

e-xdx-

1

2

(xn+1-xn)yn=-e-x

|

n+1 n

-

1

2

yn=(-e-n-1+e-n)-

1

2

e-n
=

e-2

2e

•

1

en

（8分）
（3）Tn=

e-2

2e

•(

1

e1

+

1

e2

++

1

en

)=

e-2

2e

•

1 e [1-( 1 e )n]

1- 1 e

=

e-2

2e(e-1)

•(1-

1

en

)

Tn+1

Tn

=

1- 1 en+1

1- 1 en

=

en+1-1

en+1-e

=1+

e-1

en+1-e

，

xn+1

xn

=

n+1

n

=1+

1

n

∴要证：

Tn+1

Tn

＜

xn+1

xn

，只要证明：

e-1

en+1-e

＜

1

n

，
即只要证明eⁿ⁺¹＞（e-1）n+e（10分）
证明；数学归纳法：
（一）当n=1时，显然（e-1）²＞0?e²＞2e-1?e²＞（e-1）+e成立
（二）假设n=k时，有e^k+1＞（e-1）k+e
当n=k+1时，e^k+2=e•e^k+1＞e[（e-1）k+e]
而e[（e-1）k+e]-[（e-1）（k+1）+e]=（e-1）²（k+1）＞0
∴e^k+2=e•e^k+1＞e[（e-1）k+e]＞（e-1）（k+1）+e
这说明n=k+1时不等式也成立，由（一）（二）知

Tn+1

Tn

＜

xn+1

xn

对一切正整数n都成立．

点评：一般在作数列与函数的综合题时，多用到数学归纳法的应用，所以要把这几个知识点掌握好．