题目内容
A．（几何证明选讲选做题）
如图，已知AB为圆O的直径，BC切圆O于点B，AC交圆O于点P，E为线段BC的中点．求证：OP⊥PE．
B．（矩阵与变换选做题）
已知M＝
，N＝
，设曲线y＝sinx在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．
C．（坐标系与参数方程选做题）
在平面直角坐标系xOy中，直线m的参数方程为
（t为参数）；在以O为极点、射线Ox为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρsinθ＝8cosθ．若直线m与曲线C交于A、B两点，求线段AB的长．
D．（不等式选做题）
设x，y均为正数，且x＞y，求证：2x＋
≥2y＋3．
A、对于平面几何中垂直的证明，一般采用相似法，或者是圆内的性质来得到，该试题主要是分析得到弦切角定理的运用。
B、曲线F的方程为
.
C、
D、对于不等式的证明，一般可以运用作差法也可以结合均值不等式的性质来得到，难点是构造定值。
【解析】
试题分析：A. 解：因为AB是圆O的直径，
所以∠APB＝90°，从而∠BPC＝90°． 2分
在△BPC中，因为E是边BC的中点，所以BE＝EC，从
而BE＝EP，因此∠1＝∠3． 5分
又因为B、P为圆O上的点，所以OB＝OP，从而∠2＝
∠4． 7分
因为BC切圆O于点B，所以∠ABC＝90°，即∠1+∠2=90°，
从而∠3+∠4=90°，于是∠OPE＝90°． 9分
所以OP⊥PE． 10分
B. 解：由题设得
.
4分
设所求曲线F上任意一点的坐标为（x,y），
上任意一点的坐标为
，则
MN
＝
，解得 
.
7分
把代入
，化简得.
所以，曲线F的方程为.
10分
C. 解：直线m的普通方程为
.
2分
曲线C的普通方程为
.
4分
由题设直线m与曲线C交于A、B两点，可令
,
.
联立方程
，解得
，则有
，
.
7分
于是
.
故 .
10分
D． 证明：由题设x＞0，y＞0，x＞y，可得x－y＞0. 2分
因为2x＋
－2y＝2(x－y)＋
＝(x－y)＋(x－y)＋ .
5分
又(x－y)＋(x－y)＋
，等号成立条件是x－y＝1 .
9分
所以，2x＋－2y≥3，即2x＋≥2y＋3．
10分
考点：几何证明，不等式，参数方程
点评：解决这类问题，一般要结合基本的知识来得到，试题难度不大，属于基础题。注意积累该方面的做题方法。
（A）（几何证明选讲选做题）如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，则BD的长为=
的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，则BD的长为=
；
的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，则BD的长为=
；
的解集为空集，则实数a的取值范围是
； 
（
为参数），直线l的极坐标方程为
．点P在曲线C上，则点P到直线l的距离的最小值为
． 
，求矩阵A．
在第一象限处的一点P（x，y）分别作x轴、y轴的两条垂线，垂足分别为M、N，求矩形PMON周长最大值时点P的坐标．