Question

14．设函数$f（x）={log_{\frac{1}{3}}}（9x）•{log_3}\frac{x}{3}，\frac{1}{9}≤x≤27$．
（Ⅰ）设t=log₃x，用t表示f（x），并指出t的取值范围；
（Ⅱ）求f（x）的最值，并指出取得最值时对应的x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设t=log₃x，由x的范围，可得t的范围，运用对数的运算性质，可得f（x）关于t的解析式；
（Ⅱ）由二次函数在闭区间上的最值的求法，讨论区间上的单调性，即可得到所求最值及对应x的值．

解答 解：（Ⅰ）设t=log₃x，由$\frac{1}{9}≤x≤27$，
即有-2≤log₃x≤3，即-2≤t≤3．
此时，f（x）=-log₃（9x）•（log₃x-1）
=-（log₃x+2）（log₃x-1）=-t²-t+2，
即f（x）=-t²-t+2，其中-2≤t≤3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，$f（x）=-{t^2}-t+2=-{（t+\frac{1}{2}）^2}+\frac{9}{4}$，
又-2≤t≤3，函数y=-t²-t+2在$[-2，-\frac{1}{2}）$单调递增，在$（-\frac{1}{2}，3]$单调递减，
所以当$t=-\frac{1}{2}$，即${log_3}x=-\frac{1}{2}$，即$x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$时，f（x）取得最大值$\frac{9}{4}$；
所以当t=3，即log₃x=3，即x=27时，f（x）取得最小值-10．

点评 本题考查函数的最值的求法，考查换元法的运用，以及对数函数的单调性，同时考查二次函数的最值的求法，及化简运算能力，属于中档题．