Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+

6

=0相切，过点P（4，0）的直线L与椭圆C相交于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；   
（2）求

OA

•

OB

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据离心率为

1

2

，可得a²=

4

3

b²，根据椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+

6

=0相切，可求b的值，从而可得椭圆的方程；
（2）由题意知直线AB的斜率存在，设直线PB的方程代入椭圆方程，利用韦达定理，及向量的数量积公式，即可确定

OA

•

OB

的取值范围．

解答：解：（1）由题意知 e=

c

a

=

1

2

，∴e²=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

4

，即a²=

4

3

b²
又∵椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+

6

=0相切
∴b=

6

1+1

=

3

，∴a²=4，b²=3，
故椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（2）由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x-4）．
疳直线方程y=k（x-4）代入椭圆方程可得：（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0
由△＞0得：1024k⁴-4（3+4k²）（64k²-12）＞0，解得k²＜

1

4

             
设A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），则x₁+x₂=

32k2

3+4k2

，x₁x₂=

64k2-12

3+4k2

∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=(1+k2)•

64 k2-12

4k2+3

-4k2•

32k2

4k2+3

+16k2=25-

87

4k2+3

∵0≤k2＜

1

4

，
∴

OA

•

OB

∈[-4，

13

4

)
∴

OA

•

OB

的取值范围是[-4，

13

4

)

点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，解题的关键是确定几何量之间的关系，利用直线与椭圆联立，结合韦达定理求解．