Question

12．若f（x）为R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（-3）=0，则 （x-2）f（x）＜0的解集为（-3，0）∪（2，3）．

Answer 1

分析 由（x-2）•f（x）＜0对x-2＞0或x-2＜0进行讨论，把不等式（x-2）•f（x）＜0转化为f（x）＞0或f（x）＜0的问题解决，根据f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（-3）=0，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果．

解答 解：∵f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，
∴在（-∞，0）内f（x）也是增函数，
又∵f（-3）=0，
∴f（3）=0
∴当x∈（-∞，-3）∪（0，3）时，f（x）＜0；
当x∈（-3，0）∪（3，+∞）时，f（x）＞0；
∵（x-2）•f（x）＜0
∴$\left\{\begin{array}{l}x-2＜0\\ f（x）＞0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x-2＞0\\ f（x）＜0\end{array}\right.$，
解得-3＜x＜0或2＜x＜3
∴不等式的解集是（-3，0）∪（2，3）
故答案为：（-3，0）∪（2，3）

点评 本题主要考查函数的奇偶性和单调性解不等式，体现了分类讨论的思想方法，属中档题．