题目内容
已知函数f（x）=
是奇函数，且f（2）=
（1）求实数m，n的值；
（2）判断f（x）在（-∞，-1）的单调性，并加以证明．
| mx2+2 |
| 3x-n |
| 5 |
| 3 |
（1）求实数m，n的值；
（2）判断f（x）在（-∞，-1）的单调性，并加以证明．
分析：（1）由题意可得f（-x）=-f（x），代入可求n，由f（2）=
可求m
（2）由（1）可求f（x），然后利用函数单调性的定义即可证明
| 5 |
| 3 |
（2）由（1）可求f（x），然后利用函数单调性的定义即可证明
解答：（1）解：因为f（x）奇函数．所以有f（-x）=-f（x）
∴
=-
∴3x+n=3x-n
∴n=0
∵f(2)=
=
∴m=2
∴m=2 n=0
（2）f（x）=
=
(x+
)在（-∞，-1）上为增函数．
证明：设x1，x2∈（-∞，-1）且x1＜x2
则f（x1）-f（x2）=
(x1+
-x2-
)
=
[(x1-x2)+
-
)]
=
∵x1＜x2＜-1
∴x1x2＞1，x1-x2＜0
∴
(x1-x2)(
)＜0
∴f（x1）-f（x2）＜0
所以f（x）在（-∞，-1）的单调增函数．
∴
| mx2+2 |
| -3x-n |
| mx2+2 |
| 3x-n |
∴3x+n=3x-n
∴n=0
∵f(2)=
| 4m+2 |
| 6 |
| 5 |
| 3 |
∴m=2
∴m=2 n=0
（2）f（x）=
| 2x2+2 |
| 3x |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| x |
证明：设x1，x2∈（-∞，-1）且x1＜x2
则f（x1）-f（x2）=
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
=
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
=
| 2(x1-x2)(x1x2-1) |
| 3x1x2 |
∵x1＜x2＜-1
∴x1x2＞1，x1-x2＜0
∴
| 2 |
| 3 |
| x1x2-1 |
| x1x2 |
∴f（x1）-f（x2）＜0
所以f（x）在（-∞，-1）的单调增函数．
点评：本题主要考查了利用待定系数法求解函数解析式，函数单调性定义在函数单调性判断（证明）中的应用，属于函数知识的综合应用．
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