题目内容
1.将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-$\frac{π}{2}$≤φ<$\frac{π}{2}$)图象上每一点的横坐标变为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度得到y=sinx的图象.(1)求f(x)的解析式:
(2)当x∈[0,3π]时,方程f(x)=m有唯一实数根,求m的取值范围.
分析 (1)由条件根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论.
(2)当x∈[0,3π]时,$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$,$\frac{5π}{3}$],sin($\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$)∈[-1,1].令t=$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$,$\frac{5π}{3}$],由题意可得g(t)=sint 的图象和直线y=m有唯一的交点,结合图象可得m的范围.
解答 解:(1)由题意可得,把y=sinx的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度得到y=sin(x+$\frac{π}{6}$)的图象;
再把所得图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,可得y=sin($\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$)的图象,
故f(x)=sin(ωx+φ)=sin($\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$),求得ω=$\frac{1}{2}$,φ=$\frac{π}{6}$,即f(x)=sin($\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$).
(2)当x∈[0,3π]时,$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$,$\frac{5π}{3}$],sin($\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$)∈[-1,1].
令t=$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$,$\frac{5π}{3}$],
方程f(x)=m有唯一实数根,即函数f(x)=g(t)=sint 的图象和直线y=m有唯一的交点.
结合图象可得,当-0.5<m<0.5时,g(t)=sint 的图象和直线y=m有唯一的交点,
故m的范围为:-0.5<m<0.5,或m=1,或 m=-1.
点评 本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的定义域和值域,方程根的存在性以及个数判断,体现了数形结合的数学思想,属于中档题.
A. | log32•log36=log312 | B. | log32•log36=log38 | ||
C. | log32•log43=log126 | D. | log32•log43=$\frac{1}{2}$ |