题目内容
【题目】已知椭圆过点
,过右焦点且垂直于
轴的直线截椭圆所得弦长是1.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点分别是椭圆
的左,右顶点,过点
的直线
与椭圆交于
两点(
与
不重合),证明:直线
和直线
交点的横坐标为定值.
【答案】(1)椭圆的标准方程是
;(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)由已知可知,点及点
在椭圆上,代入,由
即可解得
则椭圆方程可求;(2)由(1)知点
,设
,联立方程
,消去
得
,
进而得到,设直线
联立方程
,解得
,将
,可得
,即直线
和直线
交点的横坐标为定值4.
试题解析:(1)由题知,解得
,故椭圆
的标准方程是
(2)由(1)知点,设
,联立方程
,消去
得
,
所以则直线
联立方程
,消去
得
.
解得因为
,所以
,即
,所以
,即直线
和直线
交点的横坐标为定值4.
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