题目内容
【题目】已知函数
.
(1)当时,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)讨论函数的单调区间;
(3)求证:若函数在
处取得极值,则对
恒成立.
【答案】(1);(2)当
时,
单调减区间
,无增区间;当
时,
单调增区间
,单调减区间
;(3)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)求出,,求出
的值可得切点坐标,求出
的值,可得切线斜率,利用点斜式可得曲线
在点
处的切线方程;(2)分四种情况讨论
的范围,在定义域内,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(3)由
,计算得出
,取经检验满足条件,
,则
,令
利用导数求出
的最小值即可得结果.
试题解析:(1)因为,当
时,
,
当,
,
所以曲线在点
处的切线方程
.
(2)因为在,
,
当时,
在
上单调递减.
当时,
.
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增;
综上所述,当时,
单调减区间
,无增区间.
当时,
单调增区间
,单调减区间
.
(3)因为函数在
处取得极值,所以
计算得出,取经检验满足条件.
由已知,则
,
令
易得在区间
上递减,在区间
上递增,
所以即
,
所以若函数在
处取得极值,对
恒成立.
【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性及不等式恒成立问题,属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是:(1)求出在
处的导数,即
在点
出的切线斜率(当曲线
在
处的切线与
轴平行时,在 处导数不存在,切线方程为
);(2)由点斜式求得切线方程
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】小明家的晚报在下午任何一个时间随机地被送到,他们一家人在下午
任何一个时间随机地开始晚餐.为了计算晚报在晚餐开始之前被送到的概率,某小组借助随机数表的模拟方法来计算概率,他们的具体做法是将每个1分钟的时间段看作个体进行编号,
编号为01,
编号为02,依此类推,
编号为90.在随机数表中每次选取一个四位数,前两位表示晚报时间,后两位表示晚餐时间,如果读取的四位数表示的晚报晚餐时间有一个不符合实际意义,视为这次读取的无效数据(例如下表中的第一个四位数6548中的65不符合晚报时间).按照从左向右,读完第一行,再从左向右读第二行的顺序,读完下表,用频率估计晚报在晚餐开始之前被送到的概率为( )
6548 1176 7417 4685 0950 5804 7769 7473 0395 7186 |
8012 4356 3517 7270 8015 4531 8223 7421 1157 8263 |
A.B.
C.
D.