Question

5．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，设$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$．
（1）试用$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{AC}$；
（2）若点P满足$\overrightarrow{AP}$=$\frac{3}{4}\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$，且B，D，P三点共线，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量三角形法则可得：$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{DC}$，化简整理即可得出．
（2）由B，D，P三点共线，可得存在实数k使得$\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}+（1-k）\overrightarrow{AD}$．又$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{DC}$，可得$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，又$\overrightarrow{AP}$=$\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}+λ\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}$+λ$（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$．可得$\overrightarrow{AP}$=$-\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}$+$（\frac{3}{4}+λ）\overrightarrow{AD}$．再利用向量基本定理即可得出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{DC}$，
∴存在实数k满足：$\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}$=2$（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}）$，
化为$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$+$\frac{2}{3}\overrightarrow{a}$．
（2）∵B，D，P三点共线，
∴$\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}+（1-k）\overrightarrow{AD}$．
∵$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{DC}$，
∴$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，
又$\overrightarrow{AP}$=$\frac{3}{4}\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$=$\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}+λ\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}$+λ$（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$．
∴$\overrightarrow{AP}$=$\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}$+λ$（\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}）$-$λ\overrightarrow{AB}$=$-\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}$+$（\frac{3}{4}+λ）\overrightarrow{AD}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}=k}\\{\frac{3}{4}+λ=1-k}\end{array}\right.$，解得$k=-\frac{3}{2}$，λ=$\frac{7}{4}$．
∴λ=$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、向量共线定理、向量基本定理、三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．